有一个市镇，只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。有一天开大会，所有房间都住满了，后来来了一位客人，一定要住下来。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”正好这时候，聪明的旅馆老板女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆老板难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号，…，K号房间客人搬到2K号，…，这样，1号，3号，5号，…房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”
这一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房安排他们的亲朋好友，这回连老板的女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于想出了办法。她把第一个客人的第一间房记做（1，1），第二间房记做（1，2），第K间房记作（1，K）…，第二个客人的第一间房记作（2，1），第二间房记做（2，2），…，这样就有一串两个号码的房间。现在把它按1，2，3，4，…排好，按箭头的顺序排号：（1，1）住1号，（1，2）住2号，（2，1）住3号，（3，1）住4号，（2，2）住5号，…问题不就又解决了吗！
这个故事说明了无穷集合和有限集合的一个特点，即有限集合不能通过单映射映射到自己的真子集合，而无穷集合可以通过单映射映射到自己的真子集合。（单映射是指，设F是集合A到集合B的映射，对B中的一个象，它在A中只有唯一元素作为原象，就称F是单映射。）